<!DOCTYPE html><html class="hide-aside" lang="zh-CN" data-theme="light"><head><meta charset="UTF-8"><meta http-equiv="X-UA-Compatible" content="IE=edge"><meta name="viewport" content="width=device-width, initial-scale=1.0, maximum-scale=1.0, user-scalable=no"><title>空间异质性类型及检验方法 | 西山晴雪的知识笔记</title><meta name="keywords" content="综述,空间异质性,空间变系数模型,一阶异质性,二阶异质性,分层异质性"><meta name="author" content="西山晴雪"><meta name="copyright" content="西山晴雪"><meta name="format-detection" content="telephone=no"><meta name="theme-color" content="#ffffff"><meta name="description" content="空间异质性类型及检验方法">
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class="site-page child" href="/categories/BayesNN/%E5%AF%B9%E6%AF%94%E4%B8%8E%E8%AF%84%E6%B5%8B/"><i class="fa-fw fa-brands fa-deezer"></i><span> 对比与评测</span></a></li></ul></div><div class="menus_item"><a class="site-page group hide" href="javascript:void(0);"><i class="fa-fw fas fa-map"></i><span> 空间统计</span><i class="fas fa-chevron-down"></i></a><ul class="menus_item_child"><li><a class="site-page child" href="/categories/GeoAI/%E7%BB%BC%E8%BF%B0%E7%B1%BB/"><i class="fa-fw fa-solid fa-hands-holding"></i><span> 概览</span></a></li><li><a class="site-page child" href="/categories/GeoAI/%E7%82%B9%E5%8F%82%E8%80%83%E6%95%B0%E6%8D%AE/"><i class="fa-fw fa-solid fa-map"></i><span> 点参考数据</span></a></li><li><a class="site-page child" href="/categories/GeoAI/%E9%9D%A2%E5%85%83%E6%95%B0%E6%8D%AE/"><i class="fa-fw fa-solid fa-chart-area"></i><span> 面元数据</span></a></li><li><a class="site-page child" href="/categories/GeoAI/%E7%82%B9%E6%A8%A1%E5%BC%8F%E6%95%B0%E6%8D%AE/"><i class="fa-fw fa-brands fa-cloudsmith"></i><span> 点模式数据</span></a></li><li><a class="site-page child" href="/categories/GeoAI/%E7%A9%BA%E9%97%B4%E8%B4%9D%E5%8F%B6%E6%96%AF%E6%96%B9%E6%B3%95/"><i class="fa-fw fa-solid fa-cube"></i><span> 空间贝叶斯方法</span></a></li><li><a class="site-page child" href="/categories/GeoAI/%E7%A9%BA%E9%97%B4%E5%8F%98%E7%B3%BB%E6%95%B0%E6%A8%A1%E5%9E%8B/"><i class="fa-fw fa-solid fa-ghost"></i><span> 空间变系数模型</span></a></li><li><a class="site-page child" href="/categories/GeoAI/%E7%A9%BA%E9%97%B4%E7%BB%9F%E8%AE%A1%E6%B7%B1%E5%BA%A6%E5%AD%A6%E4%B9%A0/"><i class="fa-fw fa-brands fa-deezer"></i><span> 空间统计深度学习</span></a></li><li><a class="site-page child" href="/categories/GeoAI/%E6%97%B6%E7%A9%BA%E7%BB%9F%E8%AE%A1%E6%A8%A1%E5%9E%8B/"><i class="fa-fw fas fa-atlas"></i><span> 时空统计模型</span></a></li><li><a class="site-page child" href="/categories/GeoAI/%E5%A4%A7%E6%95%B0%E6%8D%AE%E4%B8%93%E9%A2%98/"><i class="fa-fw fa fa-anchor"></i><span> 大数据专题</span></a></li><li><a class="site-page child" href="/categories/GeoAI/GeoAI/"><i class="fa-fw fa-brands fa-codepen"></i><span> GeoAI</span></a></li></ul></div><div class="menus_item"><a class="site-page group hide" href="javascript:void(0);"><i class="fa-fw fas fa-database"></i><span> 基础</span><i class="fas fa-chevron-down"></i></a><ul class="menus_item_child"><li><a class="site-page child" href="/categories/%E5%9F%BA%E7%A1%80%E7%90%86%E8%AE%BA%E7%9F%A5%E8%AF%86/%E9%AB%98%E7%AD%89%E6%95%B0%E5%AD%A6/"><i class="fa-fw fa-solid fa-chart-area"></i><span> 高等数学</span></a></li><li><a class="site-page child" href="/categories/%E5%9F%BA%E7%A1%80%E7%90%86%E8%AE%BA%E7%9F%A5%E8%AF%86/%E6%A6%82%E7%8E%87%E4%B8%8E%E7%BB%9F%E8%AE%A1/"><i class="fa-fw fa-brands fa-deezer"></i><span> 概率与统计</span></a></li><li><a class="site-page child" href="/categories/%E5%9F%BA%E7%A1%80%E7%90%86%E8%AE%BA%E7%9F%A5%E8%AF%86/%E7%BA%BF%E4%BB%A3%E4%B8%8E%E7%9F%A9%E9%98%B5%E8%AE%BA/"><i class="fa-fw fa-brands fa-cloudsmith"></i><span> 线代与矩阵论</span></a></li><li><a class="site-page child" href="/categories/%E5%9F%BA%E7%A1%80%E7%90%86%E8%AE%BA%E7%9F%A5%E8%AF%86/%E6%9C%80%E4%BC%98%E5%8C%96%E7%90%86%E8%AE%BA/"><i class="fa-fw fa-brands fa-codepen"></i><span> 最优化理论</span></a></li><li><a class="site-page child" href="/categories/%E5%9F%BA%E7%A1%80%E7%90%86%E8%AE%BA%E7%9F%A5%E8%AF%86/%E4%BF%A1%E6%81%AF%E8%AE%BA/"><i class="fa-fw fa-solid fa-cube"></i><span> 信息论</span></a></li><li><a class="site-page child" href="/categories/%E6%9C%BA%E5%99%A8%E5%AD%A6%E4%B9%A0%E6%A8%A1%E5%9E%8B/%E6%A6%82%E8%A7%88/"><i class="fa-fw fa-solid fa-ghost"></i><span> 机器学习</span></a></li><li><a class="site-page child" href="/categories/%E5%9F%BA%E7%A1%80%E7%90%86%E8%AE%BA%E7%9F%A5%E8%AF%86/%E7%9F%A5%E8%AF%86%E5%9B%BE%E8%B0%B1/"><i class="fa-fw fa-solid fa-globe"></i><span> 知识图谱</span></a></li><li><a class="site-page child" href="/categories/%E5%9F%BA%E7%A1%80%E7%90%86%E8%AE%BA%E7%9F%A5%E8%AF%86/%E8%87%AA%E7%84%B6%E8%AF%AD%E8%A8%80%E5%A4%84%E7%90%86/"><i class="fa-fw fa-solid fa-hands-holding"></i><span> 自然语言处理</span></a></li><li><a class="site-page child" href="/categories/%E8%B4%9D%E5%8F%B6%E6%96%AF%E7%BB%9F%E8%AE%A1/%E6%A6%82%E7%8E%87%E7%BC%96%E7%A8%8B/"><i class="fa-fw fas  fa-atlas"></i><span> 概率编程</span></a></li></ul></div><div class="menus_item"><a class="site-page group hide" href="javascript:void(0);"><i class="fa-fw fas fa-book-open"></i><span> 书籍</span><i class="fas fa-chevron-down"></i></a><ul class="menus_item_child"><li><a class="site-page child" href="https://xishansnow.github.io/BayesianAnalysiswithPython2nd/index.html"><i class="fa-fw fa-solid  fa-landmark-dome"></i><span> 《Bayesian Analysis with Python》</span></a></li><li><a class="site-page child" href="https://xishansnow.github.io/BayesianModelingandComputationInPython/index.html"><i class="fa-fw fa-solid  fa-graduation-cap"></i><span> 《Bayesian Modeling and Computation in Python》</span></a></li><li><a class="site-page child" href="https://xishansnow.github.io/ElementsOfStatisticalLearning/index.html"><i class="fa-fw fa-solid  fa-book-atlas"></i><span> 《统计学习精要（ESL）》</span></a></li><li><a class="site-page child" href="https://xishansnow.github.io/spatialSTAT_CN/index.html"><i class="fa-fw fa-solid  fa-layer-group"></i><span> 《空间统计学》</span></a></li><li><a class="site-page child" target="_blank" rel="noopener" href="https://otexts.com/fppcn/index.html"><i class="fa-fw fa-solid  fa-cloud-sun-rain"></i><span> 《预测：方法与实践》</span></a></li><li><a class="site-page child" href="https://xishansnow.github.io/MLAPP/index.html"><i class="fa-fw fa-solid  fa-robot"></i><span> 《机器学习的概率视角（MLAPP）》</span></a></li></ul></div><div class="menus_item"><a class="site-page group hide" href="javascript:void(0);"><i class="fa-fw fas fa-compass"></i><span> 索引</span><i class="fas fa-chevron-down"></i></a><ul class="menus_item_child"><li><a class="site-page child" href="/archives/"><i class="fa-fw fa-solid fa-timeline"></i><span> 时间索引</span></a></li><li><a class="site-page child" href="/tags/"><i class="fa-fw fas fa-tags"></i><span> 标签索引</span></a></li><li><a class="site-page child" href="/categories/"><i class="fa-fw fas fa-folder-open"></i><span> 分类索引</span></a></li></ul></div><div class="menus_item"><a class="site-page group hide" href="javascript:void(0);"><i class="fa-fw fas fa-link"></i><span> 其他</span><i class="fas fa-chevron-down"></i></a><ul class="menus_item_child"><li><a class="site-page child" href="/link/food/"><i class="fa-fw fas fa-utensils"></i><span> 美食博主</span></a></li><li><a class="site-page child" href="/link/photography"><i class="fa-fw fas fa-camera"></i><span> 摄影大神</span></a></li><li><a class="site-page child" href="/link/paper/"><i class="fa-fw fas fa-book-open"></i><span> 学术工具</span></a></li><li><a class="site-page child" href="/gallery/"><i class="fa-fw fas fa-images"></i><span> 摄影作品</span></a></li><li><a class="site-page child" href="/about/"><i class="fa-fw fas fa-heart"></i><span> 关于</span></a></li></ul></div></div></div></div><div class="post" id="body-wrap"><header class="post-bg" id="page-header" style="background-image: url('/img/book_12.png')"><nav id="nav"><span id="blog_name"><a id="site-name" href="/">西山晴雪的知识笔记</a></span><div id="menus"><div id="search-button"><a class="site-page social-icon search"><i class="fas fa-search fa-fw"></i><span> 搜索</span></a></div><div class="menus_items"><div class="menus_item"><a class="site-page" href="/"><i class="fa-fw fas fa-home"></i><span> 主页</span></a></div><div class="menus_item"><a class="site-page group hide" href="javascript:void(0);"><i class="fa-fw fas fa-atom"></i><span> 预测</span><i class="fas fa-chevron-down"></i></a><ul class="menus_item_child"><li><a class="site-page child" href="/categories/%E9%A2%84%E6%B5%8B%E4%BB%BB%E5%8A%A1/%E6%A6%82%E8%A7%88/"><i class="fa-fw fa-solid fa-hands-holding"></i><span> 概览</span></a></li><li><a class="site-page child" href="/categories/%E9%A2%84%E6%B5%8B%E4%BB%BB%E5%8A%A1/%E5%B9%BF%E4%B9%89%E7%BA%BF%E6%80%A7%E6%A8%A1%E5%9E%8B/"><i class="fa-fw fas fa-atom"></i><span> 广义线性模型</span></a></li><li><a class="site-page child" href="/categories/%E9%A2%84%E6%B5%8B%E4%BB%BB%E5%8A%A1/%E9%9D%9E%E5%8F%82%E6%95%B0%E6%A8%A1%E5%9E%8B/"><i class="fa-fw fas fa-cogs"></i><span> 传统非参数模型</span></a></li><li><a class="site-page child" href="/categories/%E9%A2%84%E6%B5%8B%E4%BB%BB%E5%8A%A1/%E9%AB%98%E6%96%AF%E8%BF%87%E7%A8%8B/"><i class="fa-fw fas fa-school"></i><span> 高斯过程</span></a></li><li><a class="site-page child" href="/categories/%E9%A2%84%E6%B5%8B%E4%BB%BB%E5%8A%A1/%E7%A5%9E%E7%BB%8F%E7%BD%91%E7%BB%9C/"><i class="fa-fw fas fa-layer-group"></i><span> 神经网络</span></a></li><li><a class="site-page child" href="/categories/%E9%A2%84%E6%B5%8B%E4%BB%BB%E5%8A%A1/%E6%A8%A1%E5%9E%8B%E9%80%89%E6%8B%A9%E4%B8%8E%E5%B9%B3%E5%9D%87/"><i class="fa-fw fa-brands fa-cloudsmith"></i><span> 模型选择与平均</span></a></li><li><a class="site-page child" href="/categories/%E9%A2%84%E6%B5%8B%E4%BB%BB%E5%8A%A1/%E5%B0%8F%E6%A0%B7%E6%9C%AC%E5%AD%A6%E4%B9%A0/"><i class="fa-fw fa-solid fa-globe"></i><span> 小样本学习</span></a></li></ul></div><div class="menus_item"><a class="site-page group hide" href="javascript:void(0);"><i class="fa-fw fas fa-file-export"></i><span> 生成</span><i class="fas fa-chevron-down"></i></a><ul class="menus_item_child"><li><a class="site-page child" href="/categories/%E7%94%9F%E6%88%90%E4%BB%BB%E5%8A%A1/%E6%A6%82%E8%A7%88/"><i class="fa-fw fa-solid fa-hands-holding"></i><span> 概览</span></a></li><li><a class="site-page child" href="/categories/%E7%94%9F%E6%88%90%E4%BB%BB%E5%8A%A1/%E4%BC%A0%E7%BB%9F%E6%A6%82%E7%8E%87%E5%9B%BE%E6%A8%A1%E5%9E%8B/"><i class="fa-fw fa-brands fa-cloudsmith"></i><span> 传统概率图模型</span></a></li><li><a class="site-page child" href="/categories/%E7%94%9F%E6%88%90%E4%BB%BB%E5%8A%A1/%E7%8E%BB%E5%B0%94%E5%85%B9%E6%9B%BC%E6%9C%BA/"><i class="fa-fw fa-solid fa-deezer"></i><span> 玻耳兹曼机</span></a></li><li><a class="site-page child" href="/categories/%E7%94%9F%E6%88%90%E4%BB%BB%E5%8A%A1/%E5%8F%98%E5%88%86%E8%87%AA%E7%BC%96%E7%A0%81%E5%99%A8/"><i class="fa-fw fa-brands fa-cloudsmith"></i><span> 变分自编码器</span></a></li><li><a class="site-page child" href="/categories/%E7%94%9F%E6%88%90%E4%BB%BB%E5%8A%A1/%E8%87%AA%E5%9B%9E%E5%BD%92%E6%A8%A1%E5%9E%8B/"><i class="fa-fw fa-brands fa-codepen"></i><span> 自回归模型</span></a></li><li><a class="site-page child" href="/categories/%E7%94%9F%E6%88%90%E4%BB%BB%E5%8A%A1/%E5%BD%92%E4%B8%80%E5%8C%96%E6%B5%81/"><i class="fa-fw fa-solid fa-cube"></i><span> 归一化流</span></a></li><li><a class="site-page child" href="/categories/%E7%94%9F%E6%88%90%E4%BB%BB%E5%8A%A1/%E6%89%A9%E6%95%A3%E6%A8%A1%E5%9E%8B/"><i class="fa-fw fa-solid fa-ghost"></i><span> 扩散模型</span></a></li><li><a class="site-page child" href="/categories/%E7%94%9F%E6%88%90%E4%BB%BB%E5%8A%A1/%E8%83%BD%E9%87%8F%E6%A8%A1%E5%9E%8B/"><i class="fa-fw fa-solid fa-gas-pump"></i><span> 能量模型</span></a></li><li><a class="site-page child" href="/categories/%E7%94%9F%E6%88%90%E4%BB%BB%E5%8A%A1/%E7%94%9F%E6%88%90%E5%BC%8F%E5%AF%B9%E6%8A%97%E7%BD%91%E7%BB%9C/"><i class="fa-fw fa-solid fa-globe"></i><span> 生成式对抗网络</span></a></li></ul></div><div class="menus_item"><a class="site-page group hide" href="javascript:void(0);"><i class="fa-fw fas fa-magnet"></i><span> 挖掘</span><i class="fas fa-chevron-down"></i></a><ul class="menus_item_child"><li><a class="site-page child" href="/categories/%E5%8F%91%E7%8E%B0%E4%BB%BB%E5%8A%A1/%E6%A6%82%E8%A7%88/"><i class="fa-fw fa-solid fa-hands-holding"></i><span> 概览</span></a></li><li><a class="site-page child" href="/categories/%E5%8F%91%E7%8E%B0%E4%BB%BB%E5%8A%A1/%E9%9A%90%E5%9B%A0%E5%AD%90%E6%A8%A1%E5%9E%8B/"><i class="fa-fw fa-solid fa-chart-area"></i><span> 隐因子模型</span></a></li><li><a class="site-page child" href="/categories/%E5%8F%91%E7%8E%B0%E4%BB%BB%E5%8A%A1/%E7%8A%B6%E6%80%81%E7%A9%BA%E9%97%B4%E6%A8%A1%E5%9E%8B/"><i class="fa-fw fa-brands fa-deezer"></i><span> 状态空间模型</span></a></li><li><a class="site-page child" href="/categories/%E5%8F%91%E7%8E%B0%E4%BB%BB%E5%8A%A1/%E6%A6%82%E7%8E%87%E5%9B%BE%E5%AD%A6%E4%B9%A0/"><i class="fa-fw fa-brands fa-cloudsmith"></i><span> 概率图学习</span></a></li><li><a class="site-page child" href="/categories/%E5%8F%91%E7%8E%B0%E4%BB%BB%E5%8A%A1/%E9%9D%9E%E5%8F%82%E6%95%B0%E8%B4%9D%E5%8F%B6%E6%96%AF%E6%A8%A1%E5%9E%8B/"><i class="fa-fw fa-brands fa-codepen"></i><span> 非参数贝叶斯模型</span></a></li><li><a class="site-page child" href="/categories/%E5%8F%91%E7%8E%B0%E4%BB%BB%E5%8A%A1/%E8%A1%A8%E7%A4%BA%E5%AD%A6%E4%B9%A0/"><i class="fa-fw fa-solid fa-cube"></i><span> 表示学习</span></a></li><li><a class="site-page child" href="/categories/%E5%8F%91%E7%8E%B0%E4%BB%BB%E5%8A%A1/%E5%8F%AF%E8%A7%A3%E9%87%8A%E6%80%A7/"><i class="fa-fw fa-solid fa-ghost"></i><span> 可解释性</span></a></li><li><a class="site-page child" href="/categories/%E5%8F%91%E7%8E%B0%E4%BB%BB%E5%8A%A1/%E9%99%8D%E7%BB%B4/"><i class="fa-fw fa-solid fa-gas-pump"></i><span> 降维</span></a></li><li><a class="site-page child" href="/categories/%E5%8F%91%E7%8E%B0%E4%BB%BB%E5%8A%A1/%E8%81%9A%E7%B1%BB/"><i class="fa-fw fa-solid fa-cogs"></i><span> 聚类</span></a></li></ul></div><div class="menus_item"><a class="site-page group hide" href="javascript:void(0);"><i class="fa-fw fas fa-compass"></i><span> 贝叶斯</span><i class="fas fa-chevron-down"></i></a><ul class="menus_item_child"><li><a class="site-page child" href="/categories/%E8%B4%9D%E5%8F%B6%E6%96%AF%E7%BB%9F%E8%AE%A1/%E6%A6%82%E8%A7%88/"><i class="fa-fw fa-solid fa-hands-holding"></i><span> 概览</span></a></li><li><a class="site-page child" href="/categories/%E8%B4%9D%E5%8F%B6%E6%96%AF%E7%BB%9F%E8%AE%A1/%E6%A6%82%E7%8E%87%E5%9B%BE%E6%A8%A1%E5%9E%8B/"><i class="fa-fw fa-brands fa-codepen"></i><span> 概率图模型</span></a></li><li><a class="site-page child" href="/categories/%E8%B4%9D%E5%8F%B6%E6%96%AF%E7%BB%9F%E8%AE%A1/%E8%92%99%E7%89%B9%E5%8D%A1%E6%B4%9B%E6%8E%A8%E6%96%AD/"><i 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12:39:52">2023-02-05</time></span><span class="post-meta-categories"><span class="post-meta-separator">|</span><i class="fas fa-inbox fa-fw post-meta-icon"></i><a class="post-meta-categories" href="/categories/GeoAI/">GeoAI</a><i class="fas fa-angle-right post-meta-separator"></i><i class="fas fa-inbox fa-fw post-meta-icon"></i><a class="post-meta-categories" href="/categories/GeoAI/%E7%BB%BC%E8%BF%B0%E7%B1%BB/">综述类</a></span></div><div class="meta-secondline"><span class="post-meta-separator">|</span><span class="post-meta-wordcount"><i class="far fa-file-word fa-fw post-meta-icon"></i><span class="post-meta-label">字数总计:</span><span class="word-count">3.9k</span><span class="post-meta-separator">|</span><i class="far fa-clock fa-fw post-meta-icon"></i><span class="post-meta-label">阅读时长:</span><span>18分钟</span></span></div></div></div></header><main class="layout" id="content-inner"><div id="post"><article class="post-content" id="article-container"><script 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<link rel="stylesheet" type="text/css" href="https://cdn.jsdelivr.net/hint.css/2.4.1/hint.min.css"><p>【摘 要】 本文关注的重点是空间异质性问题。空间异质性是统计学中使用的一个术语，表示一个或多个感兴趣的统计特征在总体的所有子集中不相同。空间异质性的存在与独立同分布假设相冲突，即观测值之间并不是同分布的，这使很多基于独立同分布假设的方法出现问题。如果我们的研究区域很大并且物理或社会经济多样化，或者研究区域在高空间分辨率下被观测到，那么作出数据子集都具有相同统计特征的假设大概率是无效的，因此这个问题值得重视。本文概述了三种基本的空间异质性：空间均值异质性、空间自相关结构（含异方差）异质性、空间分层异质性，其中前两者相对比较成熟，文中给除了相关连接；因此本文重点是空间分层异质性的定义、检验和建模。</p>
<p>【参 考】</p>
<ul>
<li>J. Wang, R. Haining, T. Zhang, C. Xu, and M. Hu, “Statistics for spatially stratified heterogeneous data,” arXiv preprint arXiv:2211.16918, 2022.</li>
<li>R. P. Haining and G. Li, Modelling spatial and spatial-temporal data: a Bayesian approach. Boca Raton: CRC Press, Taylor &amp; Francis, 2020.</li>
<li>Dutilleul, P. R. L., Spatio-Temporal Heterogeneity: Concepts and Analysis. Cambridge: Cambridge University Press, 2011.</li>
</ul>
<h2 id="1-引言">1 引言</h2>
<p>本文关注的重点是空间异质性问题。空间异质性是统计学中使用的一个术语，表示一个或多个感兴趣的统计特征在总体的所有子集中不相同。空间异质性的存在与独立同分布假设相冲突，即观测值之间并不是 “同分布的”，从而使很多基于独立同分布假设的方法出现问题。如果我们的研究区域很大并且物理或社会经济多样化，或者研究区域在高空间分辨率下被观测到，那么理论上我们作出的数据的所有子集都具有相同统计特征的假设可能是无效的。在这种情况下，假设数据的所有子集并非都具有相同统计特征，可能是一个更安全的起点。</p>
<h2 id="2-空间异质性的类型">2 空间异质性的类型</h2>
<p>Dutilleul (2011) <sup class="refplus-num"><a href="#ref-Dutilleul2011">[13]</a></sup> 描述了两种经常遇到的空间异质性：均值异质性（一阶异质性）、方差异质性（异方差性、二阶异质性）以及与数据中的自相关结构有关的异质性。Wang 等（2016）<sup class="refplus-num"><a href="#ref-Wang2016">[62]</a></sup> 提出还存在第三种空间异质性，被称为 <code>空间分层异质性（Spatially Stratified Hererogeneity, SSHy）</code>。</p>
<h3 id="2-1-均值的异质性">2.1 均值的异质性</h3>
<p><strong>（1）检验方法</strong></p>
<p>计数数据可以通过卡方检验、连续值数据可以通过 ANOVA 方差分析检验来了解均值的异质性（或一阶异质性）（参见 Haining 和 Li 2020，第 6 章）<sup class="refplus-num"><a href="#ref-Haining2020">[26]</a></sup>。</p>
<p><strong>（2）建模方法</strong></p>
<p>均值异质性可能是一组自变量变化的结果，因此如果可以正确指定这些自变量并且其关系在空间结构上稳定（模型参数在研究区域内是恒定的），则可以通过拟合一个回归模型来解释均值的异质性。</p>
<p>参见：</p>
<ul>
<li>面元数据：  <a href="7b8d20a2.html">空间回归模型综述</a> 中的全局回归部分</li>
<li>点参考数据：参考多元统计分析中的线性回归、广义线性回归、趋势面分析等相关资料</li>
</ul>
<p>如果回归参数在空间上也在发生变化，则其关系被称为 “结构不稳定的” 或 “空间变化的”。地理加权回归（Fotheringham 等，2000 年）<sup class="refplus-num"><a href="#ref-Fotheringham2000">[16]</a></sup>、空间变系数模型等为数据分析师提供了可用于探索和模拟这种形式的均值异质性建模方法（Lloyd 2010 年 <sup class="refplus-num"><a href="#ref-Lloyd2010">[39]</a></sup>；Haining 和 Li，2020 年 <sup class="refplus-num"><a href="#ref-Haining2020">[26]</a></sup>，第 6 章和第 9 章）。</p>
<p>参见：</p>
<ul>
<li><a href="24233ee7.html">空间变参数模型综述</a></li>
<li><a href="292f7d71.html">地理加权回归方法</a></li>
<li>空间基展开方法</li>
<li><a href="42cfdcdb.html">贝叶斯空间变系数模型</a></li>
<li>Spatial regimes（不同区域采用不同回归系数）</li>
<li>空间异方差方法</li>
</ul>
<h3 id="2-2-方差异质性">2.2 方差异质性</h3>
<h4 id="2-2-1-异方差性">2.2.1 异方差性</h4>
<h4 id="2-2-2-空间自相关结构的异质性">2.2.2 空间自相关结构的异质性</h4>
<p>与空间自相关结构有关的异质性在空间数据普遍存在。此类形式的异质性通常以高（或低）值的 “局部聚簇”  形式出现。这与从全局性质角度考虑的高（低）值空间自相关性形成了鲜明对比。前者突出不同聚簇之间的变异性，而后者侧重于聚簇内部的相关性，因此此类空间异质性通常会与空间自相关性结对出现。</p>
<p><strong>（1）检验方法</strong></p>
<p>许多统计检验可用于检测此类形式的异质性，包括空间自相关 Moran’s I 或 LISA 等局部指标体系（Anselin 1995 <sup class="refplus-num"><a href="#ref-Anselin1995">[3]</a></sup>）、Gi 和 Gi* 统计量（Getis 和 Ord 1992 <sup class="refplus-num"><a href="#ref-Getis1992">[19]</a></sup>）和空间扫描统计量（Kulldorff 1997 <sup class="refplus-num"><a href="#ref-Kulldorff1997">[34]</a></sup>）。这些检验使用广泛，尽管其中一些检验受到多重问题的影响。简单地说，对一个样本同时进行的检验越多（例如，当执行 <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>n</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">n</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.4306em;"></span><span class="mord mathnormal">n</span></span></span></span> 次检验时，在一个区域内的 <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>n</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">n</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.4306em;"></span><span class="mord mathnormal">n</span></span></span></span> 个子区域中各执行其中一次检验），拒绝至少其中一次的零假设检验概率就越大。犯 I 类错误（当原假设为真时拒绝原假设）的概率超过研究人员选择的决策规则（例如 5% 或 10%）。有关详细信息，请参阅 Haining 和 Li 2020，第 6 章 <sup class="refplus-num"><a href="#ref-Haining2020">[26]</a></sup>。</p>
<p><strong>（2）建模方法</strong></p>
<p>此类异质性的建模要点在于如何描述空间自相关性中存在的结构。</p>
<p>例如：</p>
<ul>
<li>点参考数据中描述空间自相关性的普通克里金法、泛克里金法、协同克里金法等</li>
<li>面元数据中各种描述空间溢出效应的模型：空间滞后模型 (SLM)、空间滞后协变量模型 (SLX)、空间误差模型 (SEM) 、空间杜宾模型 (SDM) 等。</li>
</ul>
<div class="note info no-icon flat"><p>参见：</p>
<ul>
<li><a href="3b1cf105.html">点参考数据及克里金法</a></li>
<li>空间回归模型综述</li>
</ul>
</div>
<h3 id="2-3-空间分层异质性">2.3 空间分层异质性</h3>
<p>异质性的另一种重要形式是空间分层异质性 (SSHy)。当由一组连续空间单元组成的区域可以被划分为不同空间段（层）时，则各空间层之间可能存在分层异质性，其中在每个层（每个层包含多个空间单元）内，变量的均值或变量之间的关联相同，每个层都显示出层内同质性。同时与其他层相比，这些统计特征共同显示出层间的异质性（Wang et al. 2016 <sup class="refplus-num"><a href="#ref-Wang2016">[62]</a></sup>）。</p>
<p>与上述其他形式的局部空间异质性相比，空间分层异质性问题似乎并没有受到系统的关注。部分原因可能在于识别同质区域的方法有限或比较复杂。例如，在将基于同质性假设的全局模型应用于 SSH 总体时，空间分层异质性变成了一个混淆来源（辛普森悖论）；即便认识到了异质性，也可能没有足够数据来支撑我们使用传统方法提供每个层的良好参数估计，即存在数据稀疏性问题；严重时甚至存在某些层没有抽样的样本偏差问题（Wang et al. 2018 <sup class="refplus-num"><a href="#ref-Wang2018">[61]</a></sup>） ; Xu et al. 2018 <sup class="refplus-num"><a href="#ref-Xu2018">[65]</a></sup>; Haining and Li 2020 <sup class="refplus-num"><a href="#ref-Haining2020">[26]</a></sup>)。</p>
<p>此外，空间分层异质性被忽略的另外一个原因可能在于：大量的分类算法似乎解决了类似的问题。而 Wang 等（2016）<sup class="refplus-num"><a href="#ref-Wang2016">[62]</a></sup>认为 SSH 是样本偏差、统计偏差、建模混淆和误导 CI 的主要来源，需要鲁棒的解决方案来克服其负面影响。</p>
<p>对空间分层异质性建模存在以下四个潜在的好处：</p>
<ul>
<li>创建相同的 PDF</li>
<li>在分层中的随机抽样；</li>
<li>层中的空间模式、层与层之间的边界可以作为非线性因果关系的一种特定信息；</li>
<li>通过叠加两个空间模式进行一般性交互。</li>
</ul>
<p><strong>（1）检验方法</strong></p>
<ul>
<li>Q 指数</li>
</ul>
<p><strong>（2）建模方法</strong></p>
<h2 id="3-空间分层异质性方程">3. 空间分层异质性方程</h2>
<p>待补充。</p>
<!--
在本节中，我们将说明现实世界中的 SSH（图 3）及其统计测试（图 4），然后将其分解为方程式。这有利于研究其功能（L，P）、层数（L）和层的划分方式（P）。

图 3 说明了一系列显示具有不同空间结构程度的数据值的地图。图 3a 表示没有显示分层证据的地图。图 3b 展示了一张具有一定程度空间结构（相邻值之间存在某种空间自相关）但仍未显示任何分层证据的地图。图 3d 显示的地图具有两个明确定义的层，并且每个层内具有很强的同质性（很少或没有层内变异）。图 3c 描绘了一个“不完全分层的异构”地图，其中数据值在空间中结构良好，但存在一些层内变化，并且三个层之间的边界线（红色）有些模糊 - 似乎存在三个空间区域但可以就边界线的位置进行辩论。在实践中，3c 代表最可能的情况。图 3 中的每张地图都附有一个概念值，称为 q 统计量，它提供了 SSHy 的度量。我们现在讨论这个统计数据。

图 3. 地图显示不同数量的空间分层异质性（见文本）以及相应的 q 统计值。 * 和 ** 分别代表 0.05 和 0.01 的显着性水平。

3.1 SSH 种群模型

SSH 地图由两个级别组成：单元级别 {i} 和更高的层次级别 {h}，并由一对方程式建模，如下所示（Thompson 2012，p149；Goldstein 2011，p19）：

Individual equation: Yhi = Mh + hi with hi ~ iid N(0, h2), h = 1, ..., L (1) Strata equation: Mh = M + uh with uh ~ N(0, B2) (2

其中 Yhi 表示地层 h 中站点 i 的随机变量，Mh = Yhi | Mh) 对于 i。 M = hLWhMh，Wh = Nh/N，其中Nh和N分别是h层的单位数和人口数。 h2 = E(Yhi  Mh|Mh)2, B2 = V[E(Yhi|Mh)] = E(Mh  M)2。为了说明 Yhi 可以指气候带 h 的气象站 i 的年温度，Mh 可以指气候带 h 的年平均温度，M 指中国的年平均温度。2 考虑到分层，（1）中的h2表示层内（或组内）h层（h=1，..，L）的变异，式（2）中的B2表示层间（或组间）变异。

我们不假设分层是已知的。因此，我们可能还需要在我们的方法中估计分层。对于给定的分层。等式（1）和（2）可以等效地表示为：

y = X+ e, e ~ N(0, 2I)

所有分量都等于 1 的列向量。= (M1, ..., ML)T，并且 e = (e1, ꞏ ꞏ ꞏ , eL)T 和 eh = (eh1, ꞏ ꞏ ꞏ , ehNh)T . X 将 y 划分为 L 层，其中层 h 的大小为 Nh，元素向量 yh 和均值 h。我们有（Gujiarati 和 Porter 2009，p74；p857）：

SST = SSB + SSW (4a) SST ≜ Lh=1Nhi=1(yhi -yത)2 = yT(I - B)y (4b) SSB ≜ Lh=1Nhi=1(yത௛-yത )2 = yT(A - B)y (4c) SSW ≈ Lh=1Nhi=1(yhi -yത௛)2 = yT(I - A)y (4d)

其中yത =Lh=1Nhi=1yhi/N, yത௛= Nhi=1yhi/Nh, A = X(XTX)-1X T, B = 1(1T1)-11T, 1是N维向量所有分量都等于 1。SST 表示总方差； SSW 表示层内方差，SSB 表示层间方差。请注意，(4b)、(4c) 和 (4d) 只能基于给定的分层得出。为了确定真正的分层，我们需要将它们组合在一起。这促使我们提出统计数据。

3.2 q 统计量：SSHy 的度量

SSHy 的度量可以基于 SSW 与 SST 的比率。 Wang 等人（2016 年）定义了这样一种度量，他们称之为 q 统计量，其中

qሺL, Pሻ ൌ 1 െ y೅ሺIିAሻy y೅ሺIିBሻy

我们在这里明确表示 q 统计量是层数 (L) 和特定分区形式 (P) 的函数，因为有许多分区可以产生 L 层。可以通过以下方式建立优化的分层

O(L, P) = argmax(L, P){q (L, P)}

R 方或类间相关系数 (ICC)（Donner 和 Koval 1980）与我们由 (4) 给出的 q 统计量之间的本质区别是 R 方或 ICC 假设分区是给定的，但我们没有做出这样的假设。这导致 q 统计遵循非中心 F PDF（见下一段），而 ICC 遵循 F PDF（Snijders 和 Bosker RJ 2011，p46）。 q statistic 用于检测 SSH 并在没有线性假设的情况下对 SSH 进行归因，这是与 R2 和 ICC 以及多级建模 (MLM) 的另一个不同之处。在图 4 中，我们说明了 q 统计量。请注意，为了强调，我们已经展示了 h = 1 层出现在两个不同的地理区域中。层标签是指其分类（例如土地利用类型）而不是其空间位置。

变量 Y 的分层可以按 Y 本身或疑似解释变量 X（第 4.3 节）进行划分，具体取决于研究的目的。

对于任何给定的 L 和 P，q 统计量取区间 [0, 1] 中的值，其中 0 反映分层异质性，这意味着 L 层中的每个层都具有与跨层发现的相同程度的（内部）异质性整个地图（图 3a）。等于 1 的 q 统计值表示层内完全同质性（一个层内的所有数据值都相同），这意味着在整个地图上观测到的异质性是由于给定的 L 层之间的差异分区（图 3d）。给定 u1, ..., uL，qstatistic 的精确概率密度函数是一个非中心 F 函数：

F = ேି௅ ௅ିଵ ௤ ଵି௤  F(L1, NL; ) (5) = ଵఙమ[∑N௛u௛ଶ௅௛ୀଵଵே(∑N௛௬) 2]

式中N、L、q、2和Nh的含义同上式3。数学结果(5)和(6)可由下式得到。从 (1) 和 (2) 中，我们有

yhi - yത௛ =ehi - ଵ ே೓Nhi=1ehi = ehi - e̅ ௛

因此

SSW = Lh=1Nhi=1(ehi -e̅ ௛)2 = eT(I-A )e。

请注意，A - B 是正交投影矩阵且 tr(I –A) = N – L。我们有

SSW ~ 2χேି௅

给定 u = (u1, ..., uL)T，我们可以将它们视为常量。然后，

ඥN௛(yത௛ - yത) = ඥN௛(呃 - ∑ ே೔௨೔ ೔ಿసభ ே ) + ඥN௛( ଵ ேಽ ∑ e௛௜ ே೓ ௜ୀଵ - = hiﬁ = ଵ L)

因此，我们有

= ଵ ఙమ ∑ ሾඥN௛ሺu௛ െ ௅௛ୀଵ ∑ ே೔௨೔ ೔ಿసభ ே )]2 = ଵ ఙమ ሾ∑ N௛ሺu௛ െ ௅௛ୀଵ ∑ ே೔௨೔ ೔ಿసభ ே )2] =ଵ ఙమ∑n௛u௛௛௅௛∑ ∑ n௛ሺሺሺሺሺே೔௨೔సభ） u௛ ௅௛ୀଵ )2]

### 3.3 不同分层评价

在第 1 节中，我们已经注意到能够识别同质区域的重要性。这不是一个新的挑战。这些区域的识别是传统区域地理学以及与边界划定有关的当代数据分析实践的核心（例如 wombling – 参见 Womble 1951）和各种形式的区域分类或“区域构建”（Longley 等人，2005 年） ，第 135 页；Dutilleul 2011，第 20-21 页）。由于分层未知，我们希望找到组内变异最小和组间变异最大的分层。有关空间和非空间区域分类方法的回顾，例如 K 均值 (MacQueen 1967)，请参见示例（海宁，2003 年，第 199-201 页）。对于空间分类器 (Haining, 2003, p.201-206)，这些方法中的目标函数通常通过组合组内方差的同质性函数和坐标位置的空间紧凑性函数来构建。本文中提出的 q 统计量可以视为这些函数中的第一个。正如我们将看到的，q 统计量的优点是可以将其零分布与标准的、众所周知的分布联系起来，这样我们就可以轻松地推导出它的 p 值。 q 统计量可用于对不同的分层（改变 L 和/或改变 L 的相同值的分区）进行经验评估，以查看哪个会产生最大的统计值。以 L 固定的情况为例（我们对层数有信心）并且我们想要比较产生 L 层的两个分区 P1 和 P2。

Q(P1, P2) = q(L; P1) – q(L; P2)

如果 Q(P1, P2) &gt; 0 (&lt; 0)，则 P1 (P2) 产生比 P2 (P1) 更均匀的层内划分。因为Q(P1, P2) = ௌௌ஻ଵିௌௌ஻ଶ ௌௌ் = ஽ሺ௉ଵ,௉ଶሻ ௌௌ் ，可以通过D(P1, P2)检验两个分区之间差异的统计显着性。

如果 P1 是真正的分层，则可以证明：

D(P1, P2) ~近似 N(E(D), V(D)

在哪里

E(D) = 2tr(A1 – A2) + TX1T(A1 –A2)X1 (9) V(D) = 2tr(A1 – A2)2 + 4TX1T(A1 –A2)2X1

其中E和V分别代表期望和方差； A1和A2分别是P1和P2的A；例如，X1 是其中一个分区 P1 的 X。虽然可能有许多分区生成 L 层，但实际上可以证明比较合理的分区数量应该少得多。

q(L;P1)的各个元素SSWh，即式(4)中q(L;P1)的定义中第二项的分子中的L项，可以进行比较，看各层中的哪一个显示大多数（层内）异质性。对分子贡献最大的层可能是进一步划分的候选者——即增加 L。然而，比较涉及不同层数的划分会引发另一个问题，即需要包括惩罚以防止过度分层。该论点类似于在回归模型中选择自变量时遇到的论点，其中 Akaike 的信息准则 (AIC) 用于比较允许模型复杂性差异的不同模型。模型 A 比另一个模型 B 具有更多自变量，其中 B 中的自变量构成 A 中自变量的子集，将更好地拟合数据但更复杂，在比较模型拟合时需要考虑到这一点 – 在这种情况下有两个不同层数的分层。 AIC 是基于两个概率密度函数之间的最小化 Kullback-Leibler 信息的惩罚估计，可用于比较 L 不同的两个分层（Akaike 1974）。

-->
<h2 id="4-空间分层异质性下的推断">4 空间分层异质性下的推断</h2>
<p>在本节中，我们将考虑数据集中存在空间分层异质性时的统计分析示例。</p>
<!--

### 4.1 同质层内统计

一旦构建了同质层的划分，如果观测是独立的，则可以应用常规统计来推断层内属性，如第 2 节中的示例所示（Xu 等人，2011 年，见图 2b 和 2c）。另一方面，如果层内观测在空间上是自相关的，则需要空间统计技术来推断层内属性。

由于这些统计数据中的许多都依赖于权重（或连通性）矩阵 W 的规范（Haining 和 Li 2020，第 4 章）以了解观测值之间的空间关系，因此出现了一个问题，即如何处理靠近任何边界的这些观测值地层。为了提高统计精度（特别是如果一个层的观测值相对较少），从层边界的“另一侧”包括一些适当加权的观测值是否合适？这种方法的合理性是因为地层边界的某些部分可能更类似于“过渡区”，即使其他边界部分显示突然变化。尝试解决此类问题的一种方法是估计 W 矩阵中的非零项（Haining 和 Li 2020，4.10 和 8.4）。 Lee 和 Mitchell (2013) 描述了一种使用局部自适应空间平滑的方法。他们方法的基础是将 W 矩阵中的非零元素视为随机变量（可以根据决策规则将其重置为零），而权重矩阵的零元素保持为零。

在空间自相关观测样本的基础上，提出了许多技术来构建某些 SSH 属性（例如气候带的年气温）的空间分布图。 MSN（具有非同质性的表面均值）、B-SHADE（有偏差的哨兵医院区域疾病估计器）和 SPA（单点区域）估计器结合克里金法和分层抽样来做出最佳线性无偏（蓝色）的推断。当所有层都有样本时，MSN 适用（Wang et al. 2009; Hu et al. 2011; Gao et al. 2019; Wang et al. 2019），如果没有 SSHy，则估计量减少到 Kriging 和三明治估计量（Wang et al. 2013b) 如果没有 SAC。当某些层没有观测值时，B-SHADE 使用样本与总体之间的比率。该比率可以使用协变量来估计。例如，早年台站数量少时的比例，可以通过现在气象台站的观测资料推算出来。它们的数量更多，以调整样本偏差（Wang et al. 2011; Hu et al. 2013; Xu et al. 2013, 2018）。如果所有层都有样本，B-SHADE 将减少到 MSN。

当只有一个样本单元可用时，SPA 使用目标变量（例如 PM2.5）和协变量（例如 PM10）之间已确定的先验关系来估计面积均值，该协变量已在所有层中观测到(Wang et al. 2013a)。 MSN、B-SHADE 和 SPA 估计是通过简单的矩阵变换获得的。

如果兴趣集中在某些参数的空间分布上，Haining 和 Li（2020 年，第 7 章和第 8 章）描述了许多具有空间依赖性的贝叶斯层次模型 (BHM)，这些模型产生异质参数的估计值。他们说明了这些方法在英格兰泰恩河畔纽卡斯尔中等超级产出区 (MSOA) 级别的家庭收入数据样本中的应用。 MSOA 是一个小区域，用于报告英国人口普查数据，在这里我们将其视为一个单独的层。样本是从全国调查中收集的，因此并非所有 MSOA（阶层）都有数据，而且许多只有少量观测结果。假定每个层内的样本是独立且同分布的。它是一组空间自相关的 MSOA 级参数值。该应用程序涉及不同的自回归模型，用于捕获感兴趣参数（MSOA 级别的平均家庭收入）空间分布中的空间自相关。所选择的模型，在 BHM 的先前模型中针对感兴趣的参数指定，导致跨 MSOA 的信息共享。 BHM 使用马尔可夫链蒙特卡罗 (MCMC) 模拟进行拟合。与上述其他方法的情况一样，模型中可以包含额外的协变量以改进估计。

### 4.2 从一个异质空间框架到另一个异质空间框架的估计

术语空间框架是指一组空间单元或支撑。由 34 个省份组成的中国和由一组气候带组成的中国是两个空间框架的例子。区域插值是用于描述将数据从一个空间框架（“源”）传输到新的空间框架（“目标”或“报告”框架）的过程的术语 - 例如参见 Goodchild 等人。 1993 年和海宁 2003 年 p.131-8 的概述。王等。 2013b 描述了他们所谓的“三明治方法”，用于将数据值从源传输到适合 SSH 群体的目标框架（图 5）。该方法提供了每个目标区域的估计值以及误差方差的估计值。首先，SSH 人口被分层为同质层（Wang 等人，2010a），并获得每个源层的均值和方差估计（图 5 中的{h}）。接下来，源区域的 SSH 人口覆盖在目标区域框架上（图 5 中的 {r}）。

源区域与发生的重叠程度成比例。任何单独的源区域都可能有助于对多个目标区域的估计。从这个意义上说，三明治方法从与任何特定目标层重叠的所有源层“借力”，并且取决于源区相对于目标区的地理范围和配置，这种借力过程可能不仅限于附近地区。如果每个源区域中都有样本值，则可以应用该方法，而不依赖于它们是目标单元中的样本数据。如果相邻值比 SSH 层内的值更相似，则克里金法优于三明治抽样，但当空间自相关不存在或空间自相关较弱时，三明治抽样效果最佳（Liu 等人，2018 年）

图 5. 说明总体为 SSH 时的三明治估计器

（人口由阶层{h = 1, ., L}和报告单位{r}组成。{h}中的绿色阴影区域以阶层h = 4为例。{h}和{h}之间的红色透明棱镜{r}表示信息从{h}流向{r}；yത和Vyത分别代表属性y的均值和方差；n和N分别代表样本单元数和层中所有单元数。 h代表层h，hi代表层h中的第i个样本单元；下标rh代表两个单元r和h相交形成的单元。）

### 4.3 使用 q 统计量研究变量之间的关联。

如果 X 与 Y 线性相关，则它们的空间分布将对应。皮尔逊相关系数 (r) 可用于衡量和检验关系的显着性。但是，如果关系不是线性的，则 Pearson 统计量不能提供令人满意的关联度量。在检查可以划分为多个层的大地理区域的关联时，可能有兴趣采用更灵活的关联指标，如图 2 和 Yin 等人所示的示例所示。 （2019）。

我们的公理是，如果 X 与 Y 相关（可能是因果关系），则它们的空间模式将呈现一致性。统计量 q(L; P) 的一个版本也可用于检查一致性，如图 4 所示。在图 4 中，我们注意到分区 P 可以根据 Y 的观测值来指定，即要测试分层异质性的变量，或者它可以根据另一个变量指定，比如 X。为了清楚地表明哪个变量被用来构造分区，我们可以写例如 q(L; Pz) 当分区在某个变量 Z 上。这个变量 Z 可以是分类变量，例如土地利用类型，也可以是具有属性的定量变量，即任何 Z 定义的层中的 Z 值相似，但层之间不同.假设我们能够指定定量变量 X 的分区 Px。单个层中 X 的平均值定义了该层中 X 的水平，并且同一层中 X 的所有观测值都相似，从而给出上升到根据 X 值计算的 q 统计量的较大值。其他层的平均值会有所不同，但这些层内的 X 值几乎没有变化。如果跨层的 Y 和 X 之间存在关联，则统计值，称为 q(L; Px)，在 Y 上计算将趋于较大（接近 1）。另一方面，如果 Y 和 X 之间没有关联，则在 Y 上计算的 q(L; Px) 的值将趋于较小（接近于 0）。这是因为如果 X 和 Y 之间存在关联，那么在层内，我们应该期望 X 的同质性与 Y 的同质性相关联（Li 等人，2020 年）。换句话说，如果研究区域中的 X 和 Y 之间存在关联，则它们的空间格局（由分层 (L; P) 描绘）往往是耦合的。一致性的程度可以通过y的q(L；Px)来衡量。

两个长的非单调时间序列之间的一致性比一对点的两个变量之间的简单线性相关更难出现（图6ab），加上时间箭头的不可逆性，暗示农业生产与北半球温度 (Zhang et al. 2007)。实验表明空间种群比非空间种群更复杂 (MacEachren 等人 1982)，等值线图比等值线图更复杂 (Monmonier 1974)，其他条件不变。同样的道理，两个复杂空间格局之间的一致性不仅需要位置重合，还需要两个变量的形状相同，因此比两对点之间的相关性更难出现（图6ac），暗示直接或两个空间变量之间的间接因果关系（图 6c，图 4），称为 SSH 因果关系。

图 6. 两点对、两个时间序列和两个空间模式之间的关联：从相关到因果关系

如果 X 是一个定量变量，那么 X 的均值与 Y 的相应均值的双变量图将表明任何关联的形式——不需要是线性的。请注意，q(L; Px) 的两个值一个在 Y 上计算，另一个在 X 上计算，但在两种情况下都使用 Px，这需要确定两个变量在层内的同质程度。当目的是比较两个变量（X 和 Y）时，图 7 分解了 q 统计量的组成部分。我们假设地图的分层是基于变量 X（而非 Y）的空间变化。散点图上的每个圆圈代表单个 X 定义的层。散点图上任何圆的中心分别由该层内 Y 和 X 的平均值定义。任何圆圈的大小都与地层的大小（就人口规模或面积范围而言）成正比，以便为更大的地层赋予视觉权重。然而，任何圆圈（对于层 h）的阴影是基于变量 Y 计算的 qh = 1 – [h2/2]。阴影越深，Y 的层内方差越小（X 的层内方差结构小）。

我们也许可以进一步完善这个情节。如果任何层 h 包含几个离散的地理区域（见图 4），则层 h 的圆可以分解为每个离散区域一个，而不是一个圆。这可能是理想的做法，例如，区域很大且地理分布广泛。如果每个离散的地理区域都很小而导致“小数”问题，则可能不希望这样做（例如，参见 Haining 和 Li 2020，第 81 页）。

图 wjk 7. q 统计散点图描述性地表明，在 7 个不同大小的聚集层的尺度上，X 和 Y 之间存在弱的反比关系。如果右数第三个大圆圈包含几个离散的地理区域，则可能需要分解大圆圈。同样的评论可能适用于另外两个较大的圆圈——第一个从右开始，第三个从左开始。

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<h2 id="参考文献">参考文献</h2>
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title="空间变系数过程模型"><img class="cover" src="/img/coffe_01.png" alt="cover"><div class="content is-center"><div class="date"><i class="far fa-calendar-alt fa-fw"></i> 2022-11-20</div><div class="title">空间变系数过程模型</div></div></a></div><div><a href="/posts/91b7308b.html" title="spBayes--贝叶斯空间变系数模型的 R 软件包"><img class="cover" src="/img/002.png" alt="cover"><div class="content is-center"><div class="date"><i class="far fa-calendar-alt fa-fw"></i> 2022-12-08</div><div class="title">spBayes--贝叶斯空间变系数模型的 R 软件包</div></div></a></div><div><a href="/posts/d99f4eaf.html" title="空间滤波方法"><img class="cover" src="/img/coffe_04.png" alt="cover"><div class="content is-center"><div class="date"><i class="far fa-calendar-alt fa-fw"></i> 2022-12-01</div><div class="title">空间滤波方法</div></div></a></div><div><a href="/posts/d83929a0.html" title="基于空间滤波方法的机器学习模型"><img class="cover" src="/img/book_13.png" alt="cover"><div class="content is-center"><div class="date"><i class="far fa-calendar-alt fa-fw"></i> 2022-12-08</div><div class="title">基于空间滤波方法的机器学习模型</div></div></a></div><div><a href="/posts/b6cef99d.html" title="艺术、地理信息和数学之间存在惊人的接口"><img class="cover" src="/img/book_20.png" alt="cover"><div class="content is-center"><div class="date"><i class="far fa-calendar-alt fa-fw"></i> 2022-12-14</div><div class="title">艺术、地理信息和数学之间存在惊人的接口</div></div></a></div></div></div></div><div class="aside-content" id="aside-content"><div class="sticky_layout"><div class="card-widget" id="card-toc"><div class="item-headline"><i class="fas fa-stream"></i><span>目录</span><span class="toc-percentage"></span></div><div class="toc-content"><ol class="toc"><li class="toc-item toc-level-2"><a class="toc-link" href="#1-%E5%BC%95%E8%A8%80"><span class="toc-text">1 引言</span></a></li><li class="toc-item toc-level-2"><a class="toc-link" href="#2-%E7%A9%BA%E9%97%B4%E5%BC%82%E8%B4%A8%E6%80%A7%E7%9A%84%E7%B1%BB%E5%9E%8B"><span class="toc-text">2 空间异质性的类型</span></a><ol class="toc-child"><li class="toc-item toc-level-3"><a class="toc-link" href="#2-1-%E5%9D%87%E5%80%BC%E7%9A%84%E5%BC%82%E8%B4%A8%E6%80%A7"><span class="toc-text">2.1 均值的异质性</span></a></li><li class="toc-item toc-level-3"><a class="toc-link" href="#2-2-%E6%96%B9%E5%B7%AE%E5%BC%82%E8%B4%A8%E6%80%A7"><span class="toc-text">2.2 方差异质性</span></a><ol class="toc-child"><li class="toc-item toc-level-4"><a class="toc-link" href="#2-2-1-%E5%BC%82%E6%96%B9%E5%B7%AE%E6%80%A7"><span class="toc-text">2.2.1 异方差性</span></a></li><li class="toc-item toc-level-4"><a class="toc-link" href="#2-2-2-%E7%A9%BA%E9%97%B4%E8%87%AA%E7%9B%B8%E5%85%B3%E7%BB%93%E6%9E%84%E7%9A%84%E5%BC%82%E8%B4%A8%E6%80%A7"><span class="toc-text">2.2.2 空间自相关结构的异质性</span></a></li></ol></li><li class="toc-item toc-level-3"><a class="toc-link" href="#2-3-%E7%A9%BA%E9%97%B4%E5%88%86%E5%B1%82%E5%BC%82%E8%B4%A8%E6%80%A7"><span class="toc-text">2.3 空间分层异质性</span></a></li></ol></li><li class="toc-item toc-level-2"><a class="toc-link" href="#3-%E7%A9%BA%E9%97%B4%E5%88%86%E5%B1%82%E5%BC%82%E8%B4%A8%E6%80%A7%E6%96%B9%E7%A8%8B"><span class="toc-text">3. 空间分层异质性方程</span></a></li><li class="toc-item toc-level-2"><a class="toc-link" href="#4-%E7%A9%BA%E9%97%B4%E5%88%86%E5%B1%82%E5%BC%82%E8%B4%A8%E6%80%A7%E4%B8%8B%E7%9A%84%E6%8E%A8%E6%96%AD"><span class="toc-text">4 空间分层异质性下的推断</span></a></li><li class="toc-item toc-level-2"><a class="toc-link" href="#%E5%8F%82%E8%80%83%E6%96%87%E7%8C%AE"><span class="toc-text">参考文献</span></a></li></ol></div></div></div></div></main><footer id="footer"><div id="footer-wrap"><div class="copyright">&copy;2020 - 2023 By 西山晴雪</div><div class="framework-info"><span>框架 </span><a target="_blank" rel="noopener" href="https://hexo.io">Hexo</a><span class="footer-separator">|</span><span>主题 </span><a target="_blank" rel="noopener" href="https://github.com/jerryc127/hexo-theme-butterfly">Butterfly</a></div></div></footer></div><div id="rightside"><div id="rightside-config-hide"><button id="readmode" type="button" title="阅读模式"><i class="fas fa-book-open"></i></button><button id="translateLink" type="button" title="简繁转换">繁</button><button id="darkmode" type="button" title="浅色和深色模式转换"><i class="fas fa-adjust"></i></button><button id="hide-aside-btn" type="button" title="单栏和双栏切换"><i class="fas fa-arrows-alt-h"></i></button></div><div id="rightside-config-show"><button id="rightside_config" type="button" title="设置"><i class="fas fa-cog fa-spin"></i></button><button class="close" id="mobile-toc-button" type="button" title="目录"><i class="fas fa-list-ul"></i></button><button id="go-up" type="button" title="回到顶部"><i class="fas fa-arrow-up"></i></button></div></div><div id="algolia-search"><div class="search-dialog"><nav class="search-nav"><span class="search-dialog-title">搜索</span><button class="search-close-button"><i class="fas fa-times"></i></button></nav><div class="search-wrap"><div id="algolia-search-input"></div><hr/><div id="algolia-search-results"><div id="algolia-hits"></div><div id="algolia-pagination"></div><div id="algolia-info"><div class="algolia-stats"></div><div class="algolia-poweredBy"></div></div></div></div></div><div id="search-mask"></div></div><div><script src="/js/utils.js"></script><script src="/js/main.js"></script><script src="/js/tw_cn.js"></script><script src="https://cdn.jsdelivr.net/npm/@fancyapps/ui/dist/fancybox.umd.min.js"></script><script>function panguFn () {
  if (typeof pangu === 'object') pangu.autoSpacingPage()
  else {
    getScript('https://cdn.jsdelivr.net/npm/pangu/dist/browser/pangu.min.js')
      .then(() => {
        pangu.autoSpacingPage()
      })
  }
}

function panguInit () {
  if (true){
    GLOBAL_CONFIG_SITE.isPost && panguFn()
  } else {
    panguFn()
  }
}

document.addEventListener('DOMContentLoaded', panguInit)</script><script src="https://cdn.jsdelivr.net/npm/algoliasearch/dist/algoliasearch-lite.umd.min.js"></script><script src="https://cdn.jsdelivr.net/npm/instantsearch.js/dist/instantsearch.production.min.js"></script><script src="/js/search/algolia.js"></script><script>var preloader = {
  endLoading: () => {
    document.body.style.overflow = 'auto';
    document.getElementById('loading-box').classList.add("loaded")
  },
  initLoading: () => {
    document.body.style.overflow = '';
    document.getElementById('loading-box').classList.remove("loaded")

  }
}
window.addEventListener('load',preloader.endLoading())</script><div class="js-pjax"><link rel="stylesheet" type="text/css" href="https://cdn.jsdelivr.net/npm/katex/dist/katex.min.css"><script src="https://cdn.jsdelivr.net/npm/katex/dist/contrib/copy-tex.min.js"></script><script>(() => {
  document.querySelectorAll('#article-container span.katex-display').forEach(item => {
    btf.wrap(item, 'div', { class: 'katex-wrap'})
  })
})()</script><script>(() => {
  const $mermaidWrap = document.querySelectorAll('#article-container .mermaid-wrap')
  if ($mermaidWrap.length) {
    window.runMermaid = () => {
      window.loadMermaid = true
      const theme = document.documentElement.getAttribute('data-theme') === 'dark' ? '' : ''

      Array.from($mermaidWrap).forEach((item, index) => {
        const mermaidSrc = item.firstElementChild
        const mermaidThemeConfig = '%%{init:{ \'theme\':\'' + theme + '\'}}%%\n'
        const mermaidID = 'mermaid-' + index
        const mermaidDefinition = mermaidThemeConfig + mermaidSrc.textContent
        mermaid.mermaidAPI.render(mermaidID, mermaidDefinition, (svgCode) => {
          mermaidSrc.insertAdjacentHTML('afterend', svgCode)
        })
      })
    }

    const loadMermaid = () => {
      window.loadMermaid ? runMermaid() : getScript('https://cdn.jsdelivr.net/npm/mermaid/dist/mermaid.min.js').then(runMermaid)
    }

    window.pjax ? loadMermaid() : document.addEventListener('DOMContentLoaded', loadMermaid)
  }
})()</script></div><script id="canvas_nest" defer="defer" color="0,0,255" opacity="0.7" zIndex="-1" count="99" mobile="false" src="https://cdn.jsdelivr.net/npm/butterfly-extsrc/dist/canvas-nest.min.js"></script><script src="https://cdn.jsdelivr.net/npm/butterfly-extsrc/dist/activate-power-mode.min.js"></script><script>POWERMODE.colorful = true;
POWERMODE.shake = true;
POWERMODE.mobile = false;
document.body.addEventListener('input', POWERMODE);
</script><link rel="stylesheet" href="https://cdn.jsdelivr.net/npm/aplayer/dist/APlayer.min.css" media="print" onload="this.media='all'"><script src="https://cdn.jsdelivr.net/npm/aplayer/dist/APlayer.min.js"></script><script src="https://cdn.jsdelivr.net/npm/butterfly-extsrc/metingjs/dist/Meting.min.js"></script></div></body></html>